8. 선박의 운동(2)

8.1.2 정수 중에서의 배의 운동

동역학에서 배우게 될 바와 같이 물 위에 떠있는 배를 포함하여 모든 물체는 3가지 병진운동(translational motion)과 3가지 회전운동(rotational motion), 도합 6가지 운동을 할 수 있다. 배의 운동을 논의하기 위해 먼저 좌표계를 잡기로 한다. 공간에 고정되어 있는 좌표계를 고려하는데, 평형 상태에 있는 배의 길이방향, 폭방향, 깊이방향을 xyz 축으로 하는 우수계를 사용하기로 한다. xy평면은 정수면인 수평면과 평행하게 잡는 것이 일반적이며, xz평면은 배의 대칭면의 중앙종자면으로 잡고, x축은 선미방향, y축은 우현방향, z축은 연직상방을 각각 양으로 취한다. 좌표계의 원점은 배의 질량중심(center of mass)에 잡는 것이 일반적이나 파도 문제를 다루는 경우에는 질량중심의 연직상방에 위치하는 정수면 상의 점을 취하기도 한다.

일정한 방향으로 정해진 속도로 전진하면서 하나의 진동수를 가지는 입사파를 만나는 배를 생각하면, 배는 질량중심을 기준점으로 하는 동요(oscillation)를 하게 된다. 좁은 의미에서의 동요는 단진자 또는 질량-스프링 계의 운동에서 볼 수 있는 바와 같이 초기의 평형점을 중심으로 일정한 진폭을 가지고 음과 양의 변위를 주기적으로 가지는 운동을 뜻한다. 한편 예를 들어 정수 중의 배를 약간 들었다가 놓은 경우, 또는 배가 전복되는 경우 등과 같이 주기적인 운동을 한다고 볼 수 없는 과도적인 운동(transient motion)도 동요에 포함시켜 다루는 것이 일반적이며, 따라서 넓은 의미의 동요는 평형점을 기준으로 하는 주기적, 비주기적인 운동을 모두 포함한다고 할 수 있다.

만약 정수 중에 배에 주기적으로 변화하는 전후방향의 힘을 가하면 배는 전후방향으로 운동할 것이며 그와 같은 운동은 전후동요(surge)라고 부른다. 마찬가지로 좌우, 상하 방향의 힘을 가할 때 발생하는 운동은 각각 좌우동요(sway), 상하동요(heave)라고 부른다. 또한 x축에 대한 회전모멘트를 배에 주기적으로 가하면 배는 x축에 대한 회전운동을 할 것이며, 이와 같은 운동은 횡동요(roll)라고 부른다. y축, z축에 대한 회전모멘트를 가할 때 발생하는 운동은 각각 종동요(pitch), 선수동요(yaw)라고 부른다.

정수 중에 떠있는 배를 약간 위로 움직인 후, 그 상태에서 가만히 놓으면 배는 분명히 상하동요를 할 것이다. 시간이 갈수록 상하동요의 크기는 작아져 결국 배는 원래의 평형 상태로 되돌아갈 것인데, 이때 배가 상하방향으로 운동하는 이유에 대해 생각해보자. 배를 약간 위로 움직이면 배의 무게보다 배에 작용하는 부력이 작아져 배는 연직하방으로 힘을 받으며 정지 상태에서 운동이 시작되므로 배는 하향운동을 할 것이다. 또 배가 원래의 평형 상태를 지나게 될 시점에는 이미 배의 속도가 상당히 커져 있으므로 관성(inertia)에 기인하여 계속 아래로 움직일 것이며, 배가 음의 연직변위를 가지면 배의 무게보다 부력이 더 큰 상태이므로 연직상방의 힘을 받아 점차 속도가 감소하여 결국 배는 정지 상태에 도달한다. 이 상태에서 배는 부력에 기인하는 연직상방의 힘을 받고 있으므로 다시 상향운동을 시작하며, 관성에 기인하여 원래 평형 상태를 통과한 후에는 다시 연직하방의 힘을 받아 속도가 감소하고, 결국 정지 상태에 도달, 다시 하향운동을 시작할 것이며, 이와 같은 과정이 계속 반복될 것이다. 단 이때, 배의 운동에 의해 수면파가 만들어지므로 배의 운동에너지는 지속적으로 수면파의 형태로 물로 전달되어, 배의 음 또는 양의 변위가 최대가 되는 정지 상태에서의 변위는 시간이 지남에 따라 점차 감소할 것이며, 일정 시간이 지난 후에 결국 배는 원래의 평형 상태로 되돌아갈 것임을 알 수 있다.

위에서 설명한 배의 상하동요는 질량-스프링-감쇠 계의 물체 운동과 매우 흡사하다. 부력은 항상 변위의 부호와 반대되는 방향의 힘을 가하는 스프링의 역할을 하는데, 따라서 부력은 배의 위치를 원래의 평형 위치로 되돌아가게 하는 힘, 즉 복원력(restoring force)을 제공하고 있음을 알 수 있다. 또 조파현상은 감쇠의 역할을 하고 있는데, 단지 한 가지 다른 점이 있다면 조파에 의해 배에 작용하는 힘이 감쇠의 역할을 할 뿐만 아니라 배의 질량을 증가시키는 것과 같은 역할도 한다는 점이다. 배의 운동에 의해 생성되는 파도는 배로부터 사방으로 퍼져나가는 성질을 가지고 있으므로 방사파라고 부르는데, 이 파도에 의해 유체입자의 운동이 발생하여 따라서 배의 표면에는 이에 따른 압력이 작용하고 이 압력은 일반적으로 배의 가속도 성분과 속도 성분으로 분해할 수 있다. 여기서 속도 성분은 위에서 언급한 운동에너지의 감소를 초래하는 감쇠기의 역할을 하며, 가속도 성분은 배의 관성이 증가한 것과 같은 효과를 가져 오므로 결국 배의 질량이 증가한 것과 같은 역할을 한다. 방사파에 기인하는 감쇠는 조파감쇠(wave damping), 질량이 증가한 것과 같은 효과에 상응하는 질량을 부가질량(added mass)이라고 부르는데, 방사파는 상하동요에 의해서만 발생하는 것이 아니고 배가 위에서 논의한 6가지 동요의 어떤 운동을 하는 경우에도 발생하므로 배의 운동을 다룰 때 잊지 말아야 할 현상이다.

한편 배의 선수를 조금 들어 올렸다가 가만히 놓을 경우에는 y축에 대한 회전동요, 즉 종동요를 하게 될 것이며 부력에 기인하는 힘 대신에 회전모멘트가 배에 작용하여 종동요를 할 것임을 위에서와 같은 방법으로 설명할 수 있고, 방사파에 의해 조파감쇠모멘트, 부가관성모멘트가 작용할 것임을 쉽게 이해할 수 있다. 또한 배의 우현을 조금 올렸다가 가만히 놓을 경우에는 x축에 대한 회전동요, 즉 횡동요를 하게 될 것이며, 종동요와 매우 유사한 방법으로 운동을 설명할 수 있다. 단 배를 수평면 내에서 위치 또는 자세 변화시킬 경우, 즉 전후동요, 좌우동요, 선수동요에 속하는 변위를 초기에 주었을 경우, 부력에 기인하는 힘의 변화가 없으므로 위에서 논의한 바와 같은 동요는 발생하지 않을 것이다. 이와 같은 관점에서 상하동요, 종동요, 횡동요는 수직운동(vertical motion), 전후동요, 좌우동요, 선수동요는 수평운동(horizontal motion)으로 묶어 부를 수 있다. 파도가 없는 정수 중에서 배가 수직운동을 하는 경우에는 복원력이 작용하므로 동요로 이어지지만, 수평운동을 하는 경우에는 복원력이 작용하지 않으므로 동요로 이어지지 않는다는 점에 유의한다.

수직운동의 경우 동요의 특성을 나타내는 변수로 고유진동수(natural frequency)를 정의할 수 있다. 평형 상태에 있는 질량-스프링 계에 어떤 변화를 줄 경우, 물체는 위 식으로 주어진 고유진동수로 동요한다는 사실은 물리 시간에 배워 잘 알고 있을 것이다. 정의 중의 배가 수직운동을 시작하여 동요를 할 경우에도 위에서 설명한 바와 같이 부력이 스프링의 역할을 하고 있으므로 위와 비슷한 방식으로 고유진동수를 정의할 수 있는데, 단 방사파에 기인하는 질량 증가 효과 때문에 물체의 질량이 증가된 것을 고려해 주어야 한다.